Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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Capítulo 5 - Birge Vieta

Cálculo de Raízes Reais de um Polinômio

Introdução

Não se precisa de Cálculo Numérico para calcular as raízes de uma equação do segundo grau. É de todos conhecida a fórmula –b ±(b2 – 4ac) /2a .
Entretanto, se temos polinônios de ordem maior que 2, as dificuldades aumentam.
Há soluções para casos particulares, como as biquadradas, faltando soluções analíticas gerais para polinômios de ordem elevada.
O problema é enfrentado com o Método de Newton, já apresentado, onde se usa a expressão xi+1 = xi – f(xi) / f ’ (xi).
Para cálculo do valor de f(xi) e f ’ (xi) , usa-se o algoritmo de Ruffini ou Briot-Ruffini, com o objetivo de minimizar os cálculos necessários, permitindo maior precisão.

Algoritmo de Briot-Ruffini.

Para se calcular o valor de um polinômio num ponto x0 , faz-se a divisão de P(x) por x – x0 e acha-se o resto R, da divisão.
R = p(x0) .

Vejamos: seja Q(x) o quociente da divisão de P(x) por x – x0 .
Tem-se: P(x) = (x – x0) Q(x) + R .


P(x0) = (x0 – x0) Q(x0) + R . Logo: R = P(x0) .

Seja o dividendo P(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0


e o quociente Q(x) = b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1 , sendo R o resto.

P(x) = (x – x0) Q(x) + R , logo:

a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x – x0) (b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1) + R =
= b4 x4 + (b3 - x0 b4) x3 + (b2 - x0 b3) x2 + (b1 - x0 b2) x + (R - x0 b1)

Tratando-se de identidade de polinômios, pois essa igualdade vale para qualquer valor de x , tem-se:

b4 = a4
b3 - x0 b4 = a3 ou b3 = a3 + x0b4
b2 - x0 b3 = a2 ou b2 = a2 + x0b3
b1 - x0 b2 = a1 ou b1 = a1 + x0b2
R - x0 b1 = a0 ou R = a0 + x0b1

 

 

a4

a3

a2

a1

a0

x0

b4

b3

b2

b1

R

 

Dessa forma tem-se o quociente Q(x) e o valor de P(x0) = R.Cálculo das raízesVoltemos ao cálculo das raízes do polinômio, pelo método de Newton-Raphson.Partindo de x0 , vamos calcular x1 = x0 – P(x0)/P’(x0) , onde P(x0) e P’(x0) serão calculados usando-se Briot-Ruffini.
Entretanto, lembrando que P(x) = (x-x0)Q(x) + R , tem-se que :
P’(x) = (x-x0)Q’(x) + Q(x) e logo, P’(x0) = (x0 – x0)Q’ (x0) + Q(x0) = Q(x0)
Assim, P’(x0) = Q(x0) .
Logo, x1 = x0 – P(x0)/Q(x0) .
Quando se calcula R = P(x0) , logo abaixo da linha está o Q(x). Assim, basta repetir a operação que se fez com o P(x), para o Q(x), cujo grau é o de P(x) menos 1, e se terá, à direita,

R* = Q(x0) = P’(x0), da mesma maneira como se calculou o R, anterior.

  a4 a3 a2 a1 a0
x0 b4 b3 b2 b1 R
x0 c4 c3 c2 R*  

 

Assim, x1 = x0 – R/R* .


Repetindo-se o processo, tem-se: xi+1 = xi – R / R* , até que | xi+1 – xi | < e , onde
e é a tolerância.
Este método para cálculo de raízes de polinômios, usando-se o algoritmo de Briot-Ruffini, associado ao método de Newton-Raphson, recebe o nome de Método de Birge-Vieta.Vejamos um exemplo numérico:

Calcular as raízes reais de P(x) = x3 - 6x2– 45 x + 50 = 0

Seja x0 = 0

  1 -6 -45 50
0 1 -6 -45 R=50
0 1 -6 R*=-45  


x1 = 0 – 50 / (-45) = 1,11

  1 -6 -45 50
1,11 1 -4,89 -50,43 R=-5,98
1,11 1 -3,78 R*=-54,63  

x2 = 1,11 – (-5,98)/(-54,63) = 1,00

  1 -6 -45 50
1,00 1 -5 -50 R=0
1,00 1      

Sendo R= 0, a primeira raiz vale 1,00.

r1= 1,00


Na verdade, não se tinha chegado a exatamente R = 1,00, mas a R = 1,00058, que, sendo aproximado para duas casas, vale 1,00.
Por outro lado, se colocássemos 1,00058 o valor de P(1,00058) não daria exatamente 0, mas - 0,0023.
Neste caso, os números foram escolhidos para que dessem resultados próximos a valores inteiros, daí o 1,00.
Na vida real, isso raramente acontece, os valores serão fracionários e os resultados não serão exatos.


Vamos procurar as duas outras raízes.


Sendo P(x) = (x-xi) Q(x) + R, quando R
» 0 , tem-se que r1 » xi . Chegamos à primeira raiz.
Assim, P(x)
» (x – r1) Q(x).
As demais raízes de P(x) serão raízes de Q(x), tem será um polinômio 1 grau inferior a P(x).
Resta procurar as raízes de Q(x) que teremos as demais raízes de P(x).
Tomam-se os coeficiente de Q(x) e passamos esses coeficientes para a linha de cima do quadro de Briot-Ruffini e recomeçamos.

  1 -5 -50
1,00 1 -4 R = -54
1,00 1 R* = -3  

Toma-se como x0 o valor encontrado para a raiz, isto é: 1,00 .
x1 = 1,00 – (-54) / (-3) = -17,00

  1 -5 -50
-17,00 1 -22,00 R = 324,00
-17,00 1 R* = -39,00  

x2 = -17,00 – 324,00/(-39,00) = -8,69

  1 -5 -50
-8,69 1 -13,69 R = 68,97
-8,69 1 R* = -22,38  

x3 = -8,69 – 68,97 / (-22,38) = -5,61

  1 -5 -50
-5,61 1 -10,61 R = 9,53
-5,61 1 R* = -16,22  

x4 = -5,61 – 9,53 / (-16,22) = -5,02

  1 -5 -50
-5,02 1 -10,02 R = 0,30
-5,02 1 R* = -15,04  

x4 = -5,02 – 0,30 / (-15,04) = -5,00

  1 -5 -50
-5,00 1 -10,00 R = 0,00
-5,00 1    

r2 = -5,00

A última raiz está no polinômio que sobrou em Q(x), isto é: x – 10,0 = 0 .

  1 -10,00
-5,00 1 R = -15,00
-5,00 R* = 1  


Toma-se x0 = -5,0 .
x1 = -5,0 – (-15,00) / 1 = 10,00

  1 -10,00
10,00 1 R = 0,00
10,00 1  


Logo r3 = 10,00

As três raízes são: - 5 , 1 e 10 .

Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br

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