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Integral Dupla
No cálculo da Integral Dupla, a função Z=f(x,y) é definida numa região S, onde haverá a integração.
Os limites de variação de X e de Y deverão ser tais que cubram exatamente a região S.
Seja a região S definida pelos segmentos de reta:
y = x para 0 ≤ x ≤ 2
x = 2 para 0 ≤ y ≤ 6
x = 0 para 0 ≤ y ≤ 2
y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2
.....
Como se vê, para cada x constante entre 0 e 2, y varia de x a 2x+2.
Essa integral se resolve admitindo-se x constante e integrando-se
Obtem-se dessa maneira uma função de x, no caso Ix (x).
Calcula-se, em seguida, a integral de Ix (x) , variando-se x de 0 a 2, que é o valor da integral dupla.
Vamos resolver essa integral dupla por Simpson.
Comecemos pela integral em x, acima, que é uma integral simples:
Fazendo nx = 2, isto é, hx = (2-0)/2 = 1 tem-se, por Simpson:
onde Ix(x) é a integral abaixo:
que também pode ser calculada por Simpson, sendo:
onde todas essas integrais, em y, são integrais simples (não duplas) que podem ser calculadas por Simpson.
Vejamos:
Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (2-0)/2 = 1, tem-se:
Cálculo de Ix (1):
Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (4-1)/2 = 1,5, tem-se:
Cálculo de Ix (2)
Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (6-2)/2 = 2, tem-se:
Com esses valores: Ix(0) , Ix(1) e Ix(2) calcula-se a integral dupla entrando-se na expressão:
Exemplo numérico:
Seja a região S definida pelos segmentos de reta:
y = x para 0 ≤ x ≤ 2
x = 2 para 0 ≤ y ≤ 6
x = 0 para 0 ≤ y ≤ 2
y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2
Calcular:
Seja Ix tal que:
A integral dupla será dada por:
Fazendo nx = 4, isto é, hx = (2-0)/4 = 0,5 , tem-se:
onde:
ou seja:
Fazendo ny = 4, isto é, hy = (2-0)/4 = 0,5
Fazendo ny = 4, isto é, hy = (3-0,5)/4 = 0,625
Fazendo ny = 4, isto é, hy = (4-1)/4 = 0,75
Fazendo ny = 4, isto é, hy = (5-1,5)/4 = 0,875
Fazendo ny = 4, isto é, hy = (6-2)/4 = 1
I = 29,333...
Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br
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