Curso de Cálculo NuméricoProfessor Raymundo de Oliveira |
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Nesse método, dada a função a ser integrada, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo a amplitude h de cada intervalo igual a h = ( b-a ) / n
Constrói-se a tabela de n+1 pontos (xi , yi ), i variando de 0 a n, onde xi começa em a, valor inferior de X, indo até b, valor superior de X, e yi corresponde a f(xi). Tem-se, assim, n intervalos e n + 1 pontos. Ligam-se, por segmentos de reta, os pontos (xi , yi) a (xi+1 , yi+1), obtendo-se n trapézios. A soma das áreas dos n trapézios será aproximadamente a área sob a curva, isto é, entre a curva e o eixo das abscissas (X). Sendo assim, a soma das áreas dos trapézios nos dará uma aproximação da integral definida entre a e b. Quanto maior o valor de n, isto é, o número de trapézios, melhor será a aproximação do valor da integral calculada. ..... Pela figura acima, vê-se que a área de cada trapézio é dada por:
Ai = h.(yi + yi+1)/2 , isto é, altura vezes a base média.
Logo,
A = h (y0 + y1)/2 + h(y1 + y2)/2 + ... + h(yn-1 + yn)/2
A = h . ( y0/2 + S1n-1 yi + yn/2)
Sabemos que esta integral vale e –1 = 1,7182818284590...
Vamos calculá-la numericamente, trabalhando com 3 casas decimais..
Tomemos n = 2 como sendo o número de divisões do intervalo [0 , 1].
Assim, h = (1-0)/2 = 0,5 .
Vamos construir a tabela (x,y).
I » A = 0,5 (1,000/2 + 1,649 + 2,718/2) = 1,754
Como já sabemos o valor exato da integral, o que não acontecerá normalmente, podemos calcular o erro cometido:
e = 1,718 – 1,754 = - 0,036
O erro negativo está indicando que a área calculada pelo Método dos Trapézios é maior que o valor da integral. (figura a seguir) ...
Isso já era esperado, pois a concavidade da curva é para cima, o que faz com que a área dos trapézios sejam maiores que os valores das áreas sob a curva. Assim, quando f” (x) > 0, isto é, concavidade para cima, a área calculada pelo Método dos Trapézios é maior que o valor da integral. Por outro lado, se f” (x) < 0, isto é, concavidade para baixo, a área calculada pelo Método dos Trapézios é menor que o valor da integral. (referência ao lado) De fato, pode-se demonstrar, veja bibliografia anexa, que o erro cometido quando se calcula uma integral pelo Método dos Trapézios é dada por: e = I – A = - (b-a) h2 f ”(ε)/12 , onde a < ε < b .
Sendo h = (b-a) / n , pode-se escrever o erro como sendo:
e = - (b-a)3 . f ”(ε) / (12.n2)
Em geral, estamos interessado na ordem de grandeza do valor absoluto do erro e não se ele é positivo ou negativo. Assim,
| e | = (b-a) . h2 . |f ”(ε)|/12 ou (b-a) . |f ”(ε)| / (12.n2)
Estimando-se o maior valor que |f ”(ε)| pode ter no intervalo (a,b), pode-se obter o maior valor que o erro pode ter, estimando-se, assim, a precisão do cálculo da integral.
Cota Superior do Erro é esse valor que o erro não ultrapassa, em módulo.
Quando nos referirmos a erro, e, estaremos nos referindo ao seu valor absoluto, a menos que indicado.
Vejamos o cálculo do maior erro possível, no exemplo recém calculado.
f(x) = ex , donde f ’(x) = ex e f ”(x) = ex . No intervalo (0,1), podemos afirmar que eε < e = 2,7183 . Logo o erro será inferior a: e < (1-0).0,52. 2,7183/12 = 0,057 De fato, o erro é inferior, como já vimos: e ~ 0,036 . A razão de a estimativa ter sido maior é a de que tomou-se, como segunda derivada, o maior valor possível, que era o do final do intervalo (0,1).
Vamos repetir o cálculo dessa mesma integral anterior, tomando-se n = 4, isto é, dobrando-se o valor de n e obtendo-se, logicamente, um valor mais aproximado da integral, com erro menor.
I » A = 0,25 (1,000/2 + 1,284 + 1,649 + 2,117 + 2,718/2) = 1,727
Nesse caso, o erro será: e = 1,718 – 1,727 = - 0,009 Veja que, dobrando-se o n, o erro caiu cerca de 4 vezes, o que era de se esperar, pois o erro é, aproximadamente, inversamente proporcional ao quadrado de n. O aproximadamente deve-se a que, na expressão do erro aparece um ε que está entre a e b, mas que varia quando n se altera, não ficando necessariamente constante. Daí poder-se afirmar que o erro é aproximadamente proporcional ao inverso do quadrado de n. Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br | ||||||||||||||||||||
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